
Родился в селе Коржевка в большой многодетной семье. Получив начальное образование, работал в колхозе. В 1940 году был призван в Красную армию.
С июня 1941 года участвовал в боях Великой Отечественной войны. Служил разведчиком в стрелковом батальоне 334-го стрелкового полка (47-я стрелковая дивизия, 6-я гвардейская армия, 1-й Прибалтийский фронт). Был ранен.
25 марта 1944 года в наступательном бою у деревни Матысово Псковской области отделение разведчиков под командованием сержанта И. А. Салыгина захватило высоту 173,1 и удерживало её, отразив 5 контратак и истребив свыше 10 гитлеровцев; И. А. Салыгин лично уничтожил пулемётный расчёт противника, за что был награждён орденом Славы 3 степени.
В ночь на 10 июля 1944 года, ведя разведку в составе отделения около д. Комаришки (Браславский р-н Витебской области), участвовал в захвате орудия противника и уничтожении его расчёта, пленении артиллериста, который дал важные сведения; в бою за деревню лично уничтожил пулемётный расчёт противника и до 15 гитлеровцев, за что был награждён орденом Славы 2 степени.
2 сентября 1944 года, находясь в разведке в целях захвата «языка» в районе населённого пункта Гайли (юго-западнее г. Бэне, Латвия), в рукопашной схватке с гитлеровцами одного сразил и одного взял в плен, за что был награждён орденом Славы 1 степени.
Был также награждён орденами Отечественной войны 1-й степени и Красной Звезды, рядом медалей.
В июне 1945 демобилизован в звании старшины. В родном селе работал в колхозе.
Умер 3 января 2006 года. Похоронен в с. Коржевка.
Центральную улицу села назвали в честь Ивана Алексеевича — улица «Салыгина», а в парке установлен бюст.
1940